Nascido em Stretford no ano de 1836, estudou na Escola Real de Medicina e Cirurgia de Manchester, graduando-se na Universidade de St. Andrews em 1859. A saúde precária levou-o a migrar para a Austrália, como médico de um navio a vapor, em 1864.
Entre 1867 e 1868 trabalhou no Hospital Geral de Brisbane e alcançou grande reputação.
Investigou várias plantas nativas da Austrália. Descobriu as propriedades da Duboisia mycoporoides de provocar a dilatação da pupila.
Bancroft ficou conhecido por suas investigações sobre a filariose. Foi o primeiro a descobrir o verme adulto em um abcesso linfático e, posteriormente, no fluido que retirou de uma hidrocele. Foi um dos primeiros a sugerir que a doença era transmitida por mosquitos, hipótese confirmada por Patrick Manson que, em 1877, observou o desenvolvimento de embriões das filarias nos mosquitos Culex fatigans.
Morreu subitamente em Brisbane devido à uma oclusão coronária no ano de 1894.

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